Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade.
Regras de Divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.
12:2 = 6
18:2 = 9
102:2 = 51
1024:2 = 512
10256:2 = 5128
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo:
66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18
Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.
288 : 4 = 72, 88 é par e a sua metade será par.
144 : 4 = 36, 44 é par e sua metade será par.
100 : 4 = 25, pois possui na última e penúltima casa o algarismo 0.
Divisibilidade por 5
Todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por 5.
10:5 = 2
25:5 = 5
75:5 = 15
200:5 = 40
Divisibilidade por 6
Constitui todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.
42 : 6 = 7, pois 42 : 2 = 21 e 42 : 3 = 14
54 : 6 = 9, pois 54 : 2 = 27 e 54 : 3 = 18
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
570: 6 = 95, pois 570 : 2 = 285 e 570 : 3 = 190
Divisibilidade por 9
É todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 9. Exemplo:
90 : 9 = 10, pois 9 + 0 = 9
1125 : 9 = 125, pois 1 + 1 + 2 + 5 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 será divisível por 10
100:10 = 10
50:10 = 5
10:10 = 1
2000:10 = 200
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11.
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 13 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66
Divisibilidade por 12
São os números divisíveis por 3 e 4.
276:12 = 23, pois 276:3 = 92 e 276:4 = 69
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168
quarta-feira, 21 de maio de 2014
a historia da moeda
As moedas representaram os valores da economia e da cultura de diferentes sociedades ao longo do tempo.
O dinheiro é comumente reconhecido como um meio de troca aceito no pagamento de bens, serviços e dívidas. Além disso, a moeda serve para mensurar o valor relativo que algum tipo de riqueza ou serviço possui. O preço de cada mercadoria é atribuído por meio de um número específico de moedas ou cédulas que demarcam a quantidade a ser paga por esse bem. No entanto, nem sempre uma única moeda serve de referência para uma mesma localidade.
Mesmo trazendo maior mobilidade para o empreendimento de transações comerciais, a moeda não é usada em todas as economias do mundo. Diversas sociedades e regiões preservam o uso da troca em sua economia. De forma geral, os produtores inseridos neste tipo de economia utilizam dos excedentes de sua produção para estabelecerem alguma forma de escambo. Ao longo do tempo, a diversificação dos produtos dificultou a realização desse tipo de troca natural.
Foi nesse contexto que os primeiros tipos de moeda começaram a ser estipulados. Geralmente, para estabelecer algum padrão monetário, os comerciantes costumavam utilizar algum tipo de mercadoria de grande procura. Na Grécia Antiga, o boi (que era chamado pekus) foi utilizado como referência nas trocas comerciais. Uma outra mercadoria comumente utilizada foi o sal, que foi usado como moeda entre os romanos e etíopes.
O metal passou a ser utilizado por algumas culturas na medida em que o mesmo começou a ganhar espaço na cultura material desses povos. O fácil acesso, o apelo estético e as facilidades de mensuração e transporte fizeram dele um novo tipo de moeda. Em um primeiro momento, os metais utilizados no comércio eram usados “in natura” ou sobre a forma de objetos de adorno como os anéis e braceletes. Foi só mais tarde que o metal passou a ser padronizado para fins comerciais.
A cunhagem padronizada de moedas fez com que as peças de metal tivessem um grau de pureza e uma pesagem específica. Além disso, as medas sofreram um processo de cunhagem onde a origem da moeda e a representação de algum reino ou governante ficariam registrados. Uma das mais antigas moedas com o rosto de um monarca foi feita em homenagem ao rei macedônico Alexandre, O Grande. As reuniões dessas informações fizeram com que estes artefatos servissem de fonte de investigação histórica.
As primeiras ligas metálicas utilizadas na fabricação de moedas foram o ouro e a prata. O uso desses metais se justifica por seu difícil acesso, a beleza de seu brilho, a durabilidade de seu material e sua vinculação com padrões estéticos e religiosos de uma cultura. Entre os babilônios, por exemplo, prata e ouro eram relacionados com a adoração da lua e do sol, respectivamente.
Ao longo dos séculos, a requisição de jazidas de ouro e de prata para a fabricação de moedas acabou se tornando cada vez mais difícil. Por isso, o papel moeda acabou ganhando maior espaço no desenvolvimento das transações comerciais. Na Baixa Idade Média, a falta de moedas motivava os comerciantes das feiras a utilizarem letras de câmbio para o estabelecimento de alguma negociação.
Hoje em dia, as moedas são mais utilizadas para o pagamento de quantidades de baixo valor. A perda de espaço para o papel-moeda fez com que as moedas metálicas agora fossem mais valorizadas por sua durabilidade do que por sua beleza. O rápido processo de circulação de valores e a complexificação de economias cada vez mais integradas, fizeram com que as moedas fossem substituídas por outras formas de pagamento, como o cheque e o cartão de crédito.
Mesmo notando todas essas transformações no uso das moedas, não podemos considerá-la uma vítima de um processo de “evolução natural” da história econômica. Cada tipo de lastro econômico foi criado conforme as necessidades geradas por certa cultura ou sociedade. Não podemos dizer que as moedas desaparecerão da economia com o passar dos tempos. Por isso, trate de valorizar aqueles “níqueis” perdidos no fundo da sua carteira!
Mesmo trazendo maior mobilidade para o empreendimento de transações comerciais, a moeda não é usada em todas as economias do mundo. Diversas sociedades e regiões preservam o uso da troca em sua economia. De forma geral, os produtores inseridos neste tipo de economia utilizam dos excedentes de sua produção para estabelecerem alguma forma de escambo. Ao longo do tempo, a diversificação dos produtos dificultou a realização desse tipo de troca natural.
Foi nesse contexto que os primeiros tipos de moeda começaram a ser estipulados. Geralmente, para estabelecer algum padrão monetário, os comerciantes costumavam utilizar algum tipo de mercadoria de grande procura. Na Grécia Antiga, o boi (que era chamado pekus) foi utilizado como referência nas trocas comerciais. Uma outra mercadoria comumente utilizada foi o sal, que foi usado como moeda entre os romanos e etíopes.
O metal passou a ser utilizado por algumas culturas na medida em que o mesmo começou a ganhar espaço na cultura material desses povos. O fácil acesso, o apelo estético e as facilidades de mensuração e transporte fizeram dele um novo tipo de moeda. Em um primeiro momento, os metais utilizados no comércio eram usados “in natura” ou sobre a forma de objetos de adorno como os anéis e braceletes. Foi só mais tarde que o metal passou a ser padronizado para fins comerciais.
A cunhagem padronizada de moedas fez com que as peças de metal tivessem um grau de pureza e uma pesagem específica. Além disso, as medas sofreram um processo de cunhagem onde a origem da moeda e a representação de algum reino ou governante ficariam registrados. Uma das mais antigas moedas com o rosto de um monarca foi feita em homenagem ao rei macedônico Alexandre, O Grande. As reuniões dessas informações fizeram com que estes artefatos servissem de fonte de investigação histórica.
As primeiras ligas metálicas utilizadas na fabricação de moedas foram o ouro e a prata. O uso desses metais se justifica por seu difícil acesso, a beleza de seu brilho, a durabilidade de seu material e sua vinculação com padrões estéticos e religiosos de uma cultura. Entre os babilônios, por exemplo, prata e ouro eram relacionados com a adoração da lua e do sol, respectivamente.
Ao longo dos séculos, a requisição de jazidas de ouro e de prata para a fabricação de moedas acabou se tornando cada vez mais difícil. Por isso, o papel moeda acabou ganhando maior espaço no desenvolvimento das transações comerciais. Na Baixa Idade Média, a falta de moedas motivava os comerciantes das feiras a utilizarem letras de câmbio para o estabelecimento de alguma negociação.
Hoje em dia, as moedas são mais utilizadas para o pagamento de quantidades de baixo valor. A perda de espaço para o papel-moeda fez com que as moedas metálicas agora fossem mais valorizadas por sua durabilidade do que por sua beleza. O rápido processo de circulação de valores e a complexificação de economias cada vez mais integradas, fizeram com que as moedas fossem substituídas por outras formas de pagamento, como o cheque e o cartão de crédito.
Mesmo notando todas essas transformações no uso das moedas, não podemos considerá-la uma vítima de um processo de “evolução natural” da história econômica. Cada tipo de lastro econômico foi criado conforme as necessidades geradas por certa cultura ou sociedade. Não podemos dizer que as moedas desaparecerão da economia com o passar dos tempos. Por isso, trate de valorizar aqueles “níqueis” perdidos no fundo da sua carteira!
regra de tres simples
A regra de três é usada nas situações de proporcionalidade utilizando de três valores dados para o cálculo do quarto valor. A regra de três é muito utilizada na Física e na Química para o cálculo de conversão de grandezas: velocidade, massa, volume, comprimento, área. A regra de três pode ser considerada diretamente proporcional ou inversamente proporcional. Acompanhe a resolução de exemplos utilizando a regra de três.
Exemplo 1
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tintas serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
Vamos relacionar os dados através de uma tabela:
Exemplo 1
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de tintas serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
Vamos relacionar os dados através de uma tabela:
Litros
|
Área em m²
|
18
|
60
|
x
|
450
|
18 -------------- 60
x --------------- 450
Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior será a quantidade de tinta, então podemos dizer que a regra de três é diretamente proporcional. Nesse caso não invertemos os termos, multiplicamos cruzado, veja:
60*x = 18 * 450
60x = 8100
x = 8100/60
x = 135Portanto, serão necessários 135 litros de tintas para pintar uma parede de 450 m².
Exemplo 2
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto tempo ela leria o mesmo livro?
Dias
|
Páginas por dia
|
4
|
15
|
x
|
6
|
Observe que agora a situação é a seguinte, se ela ler mais páginas por dia demorará menos tempo para ler o livro, caso ela diminua as páginas lidas por dia aumentará o tempo de leitura, nesse caso a regra de três é proporcionalmente inversa, então devemos inverter a coluna em que se encontra a incógnita e depois multiplicar cruzado.
Dias
|
Páginas por dia
|
x
|
15
|
4
|
6
|
x ---------------- 15
4 ---------------- 6
6 * x = 4 * 15
6x = 60
x = 60/6
x = 10
Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para ler o livro.
um castigo para u matematicp
Um dos grandes matemáticos de todos os tempos foi o alemão Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855). Suas descobertas matemáticas são diversas, mas todas muito complicadas. Gauss sempre teve muita facilidade com matemática, desde criança estava sempre à frente de seus amigos de sala. Dizem que Gauss tinha um professor muito severo e que não aceitava conversas nem brincadeiras em sala. Como Gauss já era muito bom em matemática e achava as aulas do professor não muito interessantes, encontrava-se disperso na sala. O professor, vendo que Gauss não estava prestando atenção nas explicações, resolveu passar um castigo: somar todos os números de 1 a 100, a fim de que Gauss ficasse horas e horas realizando os cálculos e não atrapalhasse sua aula.
Mas o professor não contava com a habilidade que Gauss possuía com a matemática. Em poucos minutos, Gauss somou todos os números de 1 a 100, deixando o professor espantado.
O professor questionou como ele havia obtido a resposta tão rapidamente e Gauss foi explicar.
O professor questionou como ele havia obtido a resposta tão rapidamente e Gauss foi explicar.
Veja como Gauss realizou esses cálculos de forma tão rápida e precisa:
Imagine que vamos somar os números de 1 a 10.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
Gauss teve o seguinte pensamento: “somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo e assim por diante”. Observe:
1 + 10 =11
2 + 9 =11
3 + 8 =11
4 + 7 =11
5 + 6 = 11
2 + 9 =11
3 + 8 =11
4 + 7 =11
5 + 6 = 11
Então, 5 x 11 = 55 que é a soma de todos os números de 1 a 10.
Ele utilizou esse raciocínio para calcular a soma dos números de 1 a 100. Veja:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +... + 96 + 97 + 98 +99 + 100
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
5 + 96 = 101
.
.
.
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
4 + 97 = 101
5 + 96 = 101
.
.
.
Observando que bastava fazer 50 x 101 = 5050
Espertinho, esse Gauss!
probabilidade
Paulo faz a 4ª série em uma escola particular. Sua professora de Matemática, no intuito de ensinar aos alunos sobre probabilidade, colocou dentro de uma urna 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Logo em seguida realizou a seguinte pergunta: Qual a chance de retirarmos da urna uma bola da cor vermelha?
Paulo é um garoto muito esperto, ele pensou muito antes de levantar a mão e responder a pergunta da professora. Ele disse que a chance de alguma pessoa retirar da urna uma bola da cor vermelha seria de 4 em 10. A explicação que ele deu foi a seguinte:
No total temos 10 bolas, 4 vermelhas e 6 azuis. Como queremos retirar somente uma bola, a chance é de 4 bolas num total de 10. A professora parabenizou a resposta de Paulo e concluiu dizendo que a probabilidade de 4 em 10 é correspondente a 40% (quarenta por cento), pois:
No total temos 10 bolas, 4 vermelhas e 6 azuis. Como queremos retirar somente uma bola, a chance é de 4 bolas num total de 10. A professora parabenizou a resposta de Paulo e concluiu dizendo que a probabilidade de 4 em 10 é correspondente a 40% (quarenta por cento), pois:
Situações como essa são demonstradas através dos conceitos básicos de probabilidade.
Vamos apresentar mais situações em que a probabilidade está presente na solução de problemas cotidianos.
O dado é um instrumento formado por seis faces enumeradas de 1 à 6. Ele possui o formato de um cubo.
Vamos apresentar mais situações em que a probabilidade está presente na solução de problemas cotidianos.
O dado é um instrumento formado por seis faces enumeradas de 1 à 6. Ele possui o formato de um cubo.
No lançamento de um dado podemos obter as seguintes faces:
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos um número par é de 3 em 6.
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos um número ímpar é de 3 em 6.
A probabilidade de lançarmos um dado e obtermos o número 2 é de 1 em 6.
Nesse caso, a probabilidade vale para qualquer número.
Na festa junina da escola de Carlinhos foram vendidas 200 cartelas de bingo. As pessoas que compraram a cartela vão concorrer a uma bicicleta de 18 marchas. Quais as chances de ganhar o prêmio indicado uma pessoa que comprou 10 cartelas?
A chance da pessoa ganhar a bicicleta no bingo será de 10 em 200 ou 5%.
Numa prova, cada questão possui cinco alternativas de resposta, mas somente uma está correta. Considerando que o aluno marque qualquer uma das alternativas, qual a probabilidade de acertar a questão?
A chance de acerto dele será de 1 em 5.
O aluno possui 20 % de chance de acertar uma questão marcando qualquer alternativa.
aprendendo o desafio da balanca
Você conhece o mecanismo de pesagem que era utilizado antes de inventarem a balança controlada por pesos e a balança digital? Trata-se de uma balança constituída por dois pratos, de modo que você pode comparar o peso de dois objetos, um em cada prato.
O mecanismo dessa balança funciona da seguinte forma: caso você ponha um objeto no prato da esquerda que seja mais pesado que o objeto do prato da direita, o lado esquerdo ficará mais baixo que o lado da direita. Caso os objetos sejam de pesos iguais, a balança ficará em equilíbrio, ou seja, não haverá nenhum movimento dos pratos.
Sabendo disso, resolva o desafio que Pedrinho enfrentou.
Pedrinho estava passeando no shopping quando avistou uma promoção que dizia “Resolva o desafio da balança e ganhe um videogame novinho.” Pedrinho, que era um aluno muito esperto e dedicado, logo decidiu ver qual era o desafio para tentar ganhar o videogame.
O mecanismo dessa balança funciona da seguinte forma: caso você ponha um objeto no prato da esquerda que seja mais pesado que o objeto do prato da direita, o lado esquerdo ficará mais baixo que o lado da direita. Caso os objetos sejam de pesos iguais, a balança ficará em equilíbrio, ou seja, não haverá nenhum movimento dos pratos.
Sabendo disso, resolva o desafio que Pedrinho enfrentou.
Pedrinho estava passeando no shopping quando avistou uma promoção que dizia “Resolva o desafio da balança e ganhe um videogame novinho.” Pedrinho, que era um aluno muito esperto e dedicado, logo decidiu ver qual era o desafio para tentar ganhar o videogame.
A única informação que temos é que uma destas bolas é mais leve que as demais. O grande desafio está em conseguir descobrir qual bola é a mais leve, pesando-as apenas duas vezes.
Tente resolver esse desafio sem ter medo de errar, pois você só irá entender como ele é resolvido, tentando.
Como são dois pratos, vamos separar as bolinhas em dois grupos: o primeiro com seis bolas, e o segundo com duas.
Grupo 1:
Grupo 2:
Para prosseguir o desafio, deveremos trabalhar com hipóteses, afinal não estamos de fato testando as bolinhas na balança, por isso, use toda a sua imaginação.
Pese o primeiro grupo.
Pese o primeiro grupo.
Ao pesar o primeiro grupo, duas situações poderão acontecer:
1) Todas as bolas terão o mesmo peso;
2) Um dos pratos ficará mais alto, ou seja, os objetos daquele prato são mais leves do que os do outro prato.
Então devemos estudar cada caso, lembrando que podemos pesá-las somente mais uma vez.
1º Caso: As bolas do Primeiro Grupo são todas de mesmo peso.
Se isso acontecer, nos restam duas bolas, as bolas do segundo grupo. Com toda certeza uma destas bolas será a mais leve, afinal, a única informação que temos é a de que existe uma bola mais leve.
Como ainda temos o direito de pesar mais uma vez, colocaremos cada uma das bolas nos pratos e pesaremos, com certeza um dos pratos ficará mais alto e esta será a bola mais leve.
1) Todas as bolas terão o mesmo peso;
2) Um dos pratos ficará mais alto, ou seja, os objetos daquele prato são mais leves do que os do outro prato.
Então devemos estudar cada caso, lembrando que podemos pesá-las somente mais uma vez.
1º Caso: As bolas do Primeiro Grupo são todas de mesmo peso.
Se isso acontecer, nos restam duas bolas, as bolas do segundo grupo. Com toda certeza uma destas bolas será a mais leve, afinal, a única informação que temos é a de que existe uma bola mais leve.
Como ainda temos o direito de pesar mais uma vez, colocaremos cada uma das bolas nos pratos e pesaremos, com certeza um dos pratos ficará mais alto e esta será a bola mais leve.
2º Caso: Um dos pratos fica mais alto
Caso um dos pratos fique mais leve, sabemos que uma das três bolinhas daquele prato é a que nós queremos encontrar. Podemos pesar somente mais uma vez, então pegaremos duas destas três bolas e compararemos o peso delas. Novamente podem acontecer duas coisas.
1) As bolas têm pesos iguais.
Se isso acontecer quer dizer que a bolinha que ficou de fora é a bola mais leve. Afinal, uma das três bolinhas é a mais leve.
2) Um dos pratos fica mais alto.
O prato que ficar mais alto demonstra que a bolinha mais leve é a bola que está neste prato.
Veja que só pesamos duas vezes, a única coisa que tivemos que fazer foi separar os possíveis acontecimentos.
combinacao de objetos
Podemos determinar o número de combinações entre objetos utilizando a Matemática, através do princípio fundamental da contagem. Por exemplo, vamos supor que Paulo tenha separado 5 camisetas, 3 calças, 3 pares de meia e 2 pares de tênis, pensando em ir à festa de aniversário de seu primo. De quantas maneiras possíveis Paulo poderá se vestir?
A combinação utilizada por Paulo envolverá 1 camiseta, 1 calça, 1 par de meia e 1 par de tênis. Nesses casos, para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item. Observe:
5 x 3 x 3 x 2 = 180 combinações
A combinação utilizada por Paulo envolverá 1 camiseta, 1 calça, 1 par de meia e 1 par de tênis. Nesses casos, para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item. Observe:
5 x 3 x 3 x 2 = 180 combinações
Ao realizarmos a multiplicação, observamos que podemos ter 180 possíveis combinações.
Em uma lanchonete existem 4 tipos de sanduíche, 3 tipos de refrigerante, 5 tipos de sorvete e 2 tipos de brinde. Quantas combinações de lanches poderão ser informadas no cardápio de modo que envolva: 1 sanduíche, 1 refrigerante, 1 sorvete e 1 brinde?
4 x 3 x 5 x 2 = 120 combinações
Em uma lanchonete existem 4 tipos de sanduíche, 3 tipos de refrigerante, 5 tipos de sorvete e 2 tipos de brinde. Quantas combinações de lanches poderão ser informadas no cardápio de modo que envolva: 1 sanduíche, 1 refrigerante, 1 sorvete e 1 brinde?
4 x 3 x 5 x 2 = 120 combinações
No cardápio poderão ser informadas 120 combinações de lanche.
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